如果我们预先知道被投影的物体是一匹马，或者是一个水壶，当看到它们的投影时，我们立即就能辨别出来。这是一个常规的正问题，我们预先知道了原因（马/水壶），通过过程处理（火光的映射），很容易就得到了惟一的结果（墙上的投影）；然而，若我们仅知道结果（墙上的投影）和过程处理（火光的映射），貌似像知道原因就没那么容易了。除了是一匹马，墙上的投影还可能是一双手。

墙上的投影

仅知道结果和过程，反推出原因。这就是典型的反问题。

在我国古代，也有书籍记载过类似的反问题寓言。佛教经典《长阿含经》中，提到了为人熟知的“盲人摸象”寓言：

有王告大臣：“汝牵一象来示众盲者。”……时彼众盲各以手触，大王即唤众盲各各问言：“象类何物？”触牙者即言“象形如萝菔根”；其触耳者言象“如箕”；其触头者言象“如石”；其触鼻者言象“如杵”；其触脚者言象“如臼”；其触脊者言象“如床”；其触腹者言象“如瓮”，其触尾者言象“如绳”。

如果这些盲者脑海中有大象的概念，恐怕就不会如此美妙的想象力了。

怎么来判断反问题是否可以解决呢？

为了能更深入地说明反问题的可解性，在我们正式进入岩土工程的相关问题之前，先来看一个情景剧。

五一假期的某天，你青梅竹马、从小玩到大的好朋友——大锤，请你去他家吃饭。为了显示热情好客，大锤亲自下厨，为你做菜。

不消一会工夫，第一道菜上桌了。

第一道菜

朋友怀着满脸的期待，说：“这是不才最近学会的新菜式，你猜猜看都用了些啥材料？”

显然，只要稍有生活常识，都可以清楚地看出，这是中国人饭桌上典型的家常菜：西红柿鸡蛋。

同时，基于其独特的烹饪手法（处理过程），你可以一目了然地看出，原料为西红柿X2，鸡蛋X4（原因）。

（入门级的反问题。一般人在很短时间内，都可以解决这条问题）

听到你的回答后，朋友很满意。马上，第二道菜端上来了。

第二道菜

再一次迎着朋友期待的眼神，这次你陷入了较长时间的思索。

这道菜中，面条和布丁X8都不难看出来。关键是在面条底下，汤里面，是否还有其他材料？在通过观察无果后，可能还需要动手（筷子）去寻找一下才知道了。

（中级的反问题。随着处理过程和原因的复杂性提高，有时候可能利用需要多种手段才能解决问题）

终于，最后一道菜也上来了。朋友邀你上座共进晚餐。

最后一道菜

你彻底懵了。通过观察和动手，根本找不出有多少种材料。你甚至不知道材料是什么。或许要尝尝（根本不想尝）？

（宗师级的反问题。事实上，在岩土工程中，大部分的反问题均是宗师级别。原因的变量众多，各变量在通过处理过程后，已经变得相辅相成，难解难分。光从结果入手，甚至很难定量、清晰地去认识原因）

以上的菜系，从明朗到模糊的过程，其实就是一个边界条件从明朗到模糊的过程。换句话说，反问题的可解性，取决于边界条件的确定性。

以下我们用一个岩土工程反问题成功解决的案例作为说明。

Henry Darcy的砂滤实验

19世纪的中叶，当时作为供水与道路部总监（Chief Director for Water and Pavements）的达西（Henry Darcy）受到委托，开始对第戎市（Dijon）的公共供水系统的改建计划进行研究。在此之前，第戎市的水源主要靠地下供水井系统供应，但供水能力仍不能满足需求。

在1856年，针对此计划，达西写出了他的不朽名著《第戎市的公共水源》（Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon）.

第戎市的公共水源

在研究报告中，达西建立了一套全新的供水系统。新鲜的水源计划从约13公里远的Rosoir Spring引到第戎市附近的水库，通过2.8万米总长组成的供水管道输送至城市的大部分角落。在这些供水管道中，砂被用作过滤材料形成砂滤装置，以阻隔水中的多余杂质。为了计算各个不同长度管道的水流量，似乎需要清楚地了解这些砂滤装置的渗透特性。

当时，还没有任何流体在多孔介质中流动的理论模型。为了研究这个问题，达西与他的搭档Charles Ritter设计了一个测定水流过砂子的实验装置。

达西设计的砂滤试验装置

这个装置的核心部分是一个2.5m高，0.35m内径的圆筒，圆筒内最多可以填入最多2.5m高的砂。在圆筒的底部，设置了一个三脚钢架，用来承托圆筒内砂的重量。在三角钢架上面，分别垫有两块滤网——孔径5mm的钢丝网和孔径2mm的钢丝网，这样，在水流过砂时，砂就不会从底部随着水一起流出。

水通过连接在圆筒上方的供水管进行供给，在流过砂子后，最后通过底部的出水口流出。出水口设置了一个水龙头，这样就可以控制水的流量了。同时，在圆筒的上下两端都设置了U型的测压管，用于观察水流过砂子之后的水压变化。

如果我们预先知道砂的渗透特性（渗透系数k）和砂的高度（h），那么从测压管中水压的变化，就可以轻易地得出水在砂中的流动速度或水流量。这是一个简单的正问题。

然而，这个装置重点是要解决一个反问题：如果我们知道水流速度或水流量的情况下，是否可以通过水压变化和砂的高度来反求砂的渗透特性？

如果有在土力学中学过达西定律的朋友，可能认为这也是小菜一碟。现在，让我们先忘记达西定律10分钟，一步一步来跟随达西的实验过程，看看这个反问题，是否真的像它看上去那么简单。

达西选择了来自法国索恩河畔（Saône）的石英砂作为砂滤材料，它的颗粒组成如下：

如果按照我国的勘察规范，可能是属于中粗砂的类别。砂的孔隙率为38%，换算可得孔隙比约0.6左右。

测试试验

第一步要考虑的是怎么填砂。天然的砂样中，一般会包含有空气。如果直接装填，砂样中则会残留有空气，水的流动则不会是均匀的。为此，达西在装填之前，先将砂与水混合，然后将砂水混合体一起装填进圆筒，这样就可以尽可能避免砂中残留有空气。

达西先填进了约0.6m高的砂样，开始了测试试验。

测试试验的结果并不如意。

在水压下，测压管中的水位出现了上下振荡。当采用高水压时，出现的振荡更加强烈，甚至没有办法去观察出一个平均水位。在这种情况下，没有办法衡量砂的渗透特性，是否和水压存在相关关系。

后来达西想了个办法：在测压管中填入水银。水银的密度是水的13.6倍，在U型管中，如果水银的位置上升了1mm，即相当于原来的水位上升27.2mm。那么，在高水压的情况下，测压管中的水位振荡就被大大缩小了，平均水位也变得可以观测。

第一次正式试验

在吸取了测试试验的经验后，达西进行了第一次正式试验。砂的高度为0.58m，在逐级增大的水压下，测量每分钟的水流量变化。

第一次试验结果

如果我们将平均水压P与平均流量Q画在笛卡尔坐标轴上，结果会是怎样呢？

第一次试验流量与水压的关系

结果很不错。流量与水压呈现了很强的线性相关关系。这意味着，砂的渗透特性是稳定的，它不会随着水压的增大而改变。

第二次正式试验

在第一次试验的基础上，达西又设计了第二次正式试验。这次试验由两组子试验组成：在砂填料高度在1.14m和1.71m的情况下，继续测试水压与流量的关系。这两个高度的数值约为第一次试验的2倍和3倍。

第二次试验结果

第二次试验流量与水压的关系

我们可以发现，第二次试验同样地印证了在不同水压下，砂渗透特性的稳定性。不同的是，随着砂料高度的增加，似乎曲线的斜率似乎在不断减少。即在同样的水压条件下，砂的渗透特性还与过滤长度有关？

第三次正式试验

为了验证这个猜想，达西准备先将试验中其他的变量条件逐一消除。

首先就是通水持续时间。

前两次试验中，每次通水的时间都是不统一的，有长有短。为此，参照第二次试验，达西又设计了第三次试验，砂料的高度同样是1.70m，只不过，不同压下的通水时间统一为20min.

第三次试验结果

第三次试验流量与水压的关系

通水时间的影响并不明显。可以说，只要渗流条件达到了稳定，通水时间长短并不会影响砂料的渗透特性。

这样，变量条件就剩下砂料的高度。

为此，达西设置了一个新的参数——压高比I。它是压力P与高度H的比值。达西的设想是，假如砂的渗透特性真的是稳定的，那它就应该与除了砂成分之外的因素无关。现在之所以会受到砂料高度的影响，是因为每次试验中，水在砂料中流动的路径长短不一。

我们应该把路径长短这个变量因素消除后，再来看看结果。

流量与压高比的关系

至此，达西认为水流量Q与压高比I成正比的关系基本可以实锤了。

对于各条曲线间斜率上的稍微差异，达西则认为是由于试验误差导致的。比如第一次试验中，砂料没有洗干净；第三次试验中，所用的砂料又洗得太干净了，而且粒径比之前的试验稍大，等等。

第四次正式试验（番外篇）

在达西完成试验过后，他的搭档Charles Ritter有了一个新的想法。在达西得出的结论中，虽然进行了不同水压下的试验，但这些水压都是在自然状态下产生的。

比如设置的水压是10m，流过砂料后，就自然变成了1m。但是，如果我们人为地去控制这些水压呢？

如果初始设置的水压是10m，在流过砂料后，我们通过人为加压的方式，让水压从1m上升至5m，达西得出的定律是否还会生效呢？

说干就干。Ritter在1856年的2月17~18日（应该还在过年），按照他的想法进行了第四次补充试验。在试验中，Ritter通过人为增加或减少的方式改变上下测压管的水压，进行了12次的平行对比试验。

第四次试验结果

Ritter试验与Darcy试验的结果对比

good match.

后来，平均流量Q和压高比I就变成了著名的达西公式中的Q和i：

Q = kiA

其中A是通水的面积，k则是反应砂渗透特性的——渗透系数。

达西运用他的聪明才智，成功地解决了一个岩土工程中的反问题。我们可以看到，即使是简单的反问题，它的求证也绝不简单。达西公式，是通过多次试验，步步为营，逐项排除干扰因素得出的。

试验过程中，通过逐步消除多个可能的自变量，最终实现了从第三道菜——第二道菜——第一道菜的转变。

只有问题的边界条件逐步明朗化、具体化，反问题的解决才会出现曙光。那是不是意味着只要有边界条件，就肯定能解决问题呢？下面我们继续来看另外一个岩土工程的反问题求解失败的案例。

骅仔的基坑反问题分析尝试

某个闷热的午后，骅仔正在对着一大堆基坑的监测数据打盹，这段时间，我需要对这些数据逐一查看，以对基坑作出评估。突然间，有一个念头进入了我的脑海里：

如果我只有基坑围护结构水平位移的数据，是否可以根据水平位移反推出土压力的分布呢？

如果土压力能被反推出来，那它在某种程度上就是基于真实数据得出的“真实”土压力，会比朗肯理论算出来的土压力更加接近真实情况。

我同样不是省油的灯，也是说干就干。

首先，我先选取出了一些基于测斜数据的基坑水平位移值。

基坑的水平位移值

基坑围护结构的深度为19m（+1m~+20m）。然后，我将这19m的长度从上至下分成了190份单元体，每个单元体的长度为0.1m。

现在让我们假设围护结构的底部的固定的。这时围护结构相当于一根底部被固定的悬臂梁。这时，如果我们在190份小单元体中，任意选择其中一个，施加大小为1的单位力，那么对于不同位置的小单元体，这个单位力使围护结构产生的水平位移也会不一样。

在0m，10m，15m处施加单位力产生的水平位移

可以看出，即使在1个小单元体中施加作用力，也会影响到其他189个小单元体出现水平位移。

现在，我们定义一个位移参数K(i,j)。其中i代表单位力作用的位置，j代表受影响的位置。例如，K(2,3)就代表作用在单元体2处的单位力，使得单元体3产生的位移。通过对这些参数集成，我们可以得到一个二维的矩阵K：

位移影响系数矩阵K

同样地，我们可以将真实的位移也分为190份。我们也可以得到一个含有190个元素的一维矩阵Δ：

位移矩阵Δ

接着，我们假设每个单元体受到真实的力为F，则有：

力矩阵F

通过以上三项，我们可以得到以下等式：

我们假定这是一个欠定方程，采用最小范数法进行求解：

这样，不就可以简单地成功求解出每个小单元体真实的受力了吗？

怀着兴奋地心情，我立即投入到了求解的汪洋大海中。

结果……是令人失望的。算出来的反力方向杂乱无章，有些值大得离谱，有些又小得过分。这说明矩阵[K]并不是满秩的，求出的[F]有多种可能性。

这说明了，对于这个基坑反问题的求解方法，边界条件还不足够。

很明显，要使反问题可解，不仅需要边界条件，还需要“足够”。

那还需要哪些边界条件，才会令方程变得可解？（反力的分布方向？分布形状？）

对于一般的反问题，是否存在一个临界边界，在跨越这个边界之后，问题就会变得可解？

作为两条谜题，留给各位思考。

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